Question

已知函数和点P(1，0)，过点P作曲线y＝f(x)的两条切线PM、PN，切点分别为M、N．

(Ⅰ)设|MN|＝g(t)，试求函数g(t)的表达式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N与A(0，1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的正整数n，在区间内总存在m＋1个实数a₁，a₂，　　a_m，a_m+1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋　　＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．(提示：：函数的导数为)

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、， 　　，　　2分 　　∴切线的方程为：， 　　又切线过点，有， 　　即，(1) 　　同理，由切线也过点，得．(2) 　　由(1)、(2)，可得是方程的两根，(*) 　　 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函数的表达式为．　　4分 　　(Ⅱ)当点、与共线时，， 　　＝，即＝， 　　化简，得，　　3分 　　，．(3) 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　存在，使得点、与三点共线，且．　　2分 　　(Ⅲ)解法：易知在区间上为增函数， 　　， 　　则．　　1分 　　＝依题意，不等式对一切的正整数恒成立， 　　， 　　即对一切的正整数恒成立．　　2分 　　，， 　　．由于为正整数，． 　　又当时，存在，，对所有的满足条件． 　　因此，的最大值为．　　2分 　　解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是　　所求值． 　　，长度最小的区间为， 　　当时，与解法相同分析，得， 　　解得．　　1分