题目内容
18．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+2ax在区间（$\frac{1}{3}，+∞}$）上单调递增，则实数a的取值范围是[-$\frac{2}{9}$，+∞）．分析 求出函数的导数，问题转化为2a≥-x2-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，令h（x）=-x2-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），根据函数的单调性求出h（x）的范围，从而求出a的范围即可．
解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x3+$\frac{1}{2}$x2+2ax，
∴f′（x）=x2+x+2a=（x-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{1}{4}$+2a，
若f（x）在区间（$\frac{1}{3}，+∞}$）上单调递增，
则x2+x+2a≥0在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
即2a≥-x2-x在（$\frac{1}{3}，+∞}$）恒成立，
令h（x）=-x2-x，x∈（$\frac{1}{3}，+∞}$），
h（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）递减，
∴h（x）≤h（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{9}$，
∴2a≥-$\frac{4}{9}$，
a≥-$\frac{2}{9}$，
故答案为：[-$\frac{2}{9}$，+∞）．
点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
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8．定义在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f'（x）＞sin2x•f（x）-cos2x•f'（x），若a=f（$\frac{π}{3}$），b=2f（0），c=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$），则a，b，c的大小关系是（ ）
| A． | a＞b＞c | B． | c＞b＞a | C． | a＞c＞b | D． | b＞c＞a |
6．在一次考试中，7位同学的数学、物理成绩分数对应如表：
（1）根据上述数据，求出变量y与x的相应系数并说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱
（2）如果物理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程，并估测该班某位同学数学分数是95分时的物理成绩；（系数精确到0.01）
本题参考数据：
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=700，$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=480，$\sqrt{700}$≈26.5，$\sqrt{336}$≈18.3
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
对于相关数据系数r的大小，如果r∈[-1，-0.75]，那么y与x负相关很强，如果r∈[0.75，1]，那么y与x正相关很强，如果r∈（-0.75，-0.30）或r∈（0.30，0.75），那么y与x相关性一般，如果r∈[-0.25，0.25]，那么y与x相关性较弱．
回归直线方程：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
| 学生 | A | B | C | D | E | F | G |
| 数学（x分） | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 |
| 物理（y分） | 71 | 77 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
（2）如果物理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程，并估测该班某位同学数学分数是95分时的物理成绩；（系数精确到0.01）
本题参考数据：
$\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$=700，$\sum_{i=1}^{n}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$）=480，$\sqrt{700}$≈26.5，$\sqrt{336}$≈18.3
参考公式：相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
对于相关数据系数r的大小，如果r∈[-1，-0.75]，那么y与x负相关很强，如果r∈[0.75，1]，那么y与x正相关很强，如果r∈（-0.75，-0.30）或r∈（0.30，0.75），那么y与x相关性一般，如果r∈[-0.25，0.25]，那么y与x相关性较弱．
回归直线方程：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
13．已知cosα=$\frac{1}{3}$，则cos2α=（ ）
| A． | $-\frac{5}{9}$ | B． | $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | C． | 1 | D． | $-\frac{7}{9}$ |