Question

如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l₁：相切．

   （Ⅰ）求椭圆的方程：

   （Ⅱ）过点A的直线l₂与圆M交于PQ两点，且，求直线l₂的方程．

Answer 1

解析：(1)F(－c，0)，B(0,)，∵k_BF=，k_BC=－，C(3c，0)

且圆M的方程为(x－c)²+y²=4c²，圆M与直线l₁：x+y+3=0相切，

∴ ，解得c=1，

∴所求的椭圆方程为                    6分

(2) 点A的坐标为(－2，0)，圆M的方程为(x－1)²+y²=4，

  过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l₂的方程为y=k(x+2)，

∵，又，∴cos< >=

∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l₂的距离d=，所以，∴k=

所求直线的方程为x±2+2=0．             14分