Question

如图，F是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为

1

2

．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M的半径为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点A的直线l与圆M交于P、Q两点，且

MP

•

MQ

=-2求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知c=1，a=2，b=

3

，由此可知所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）点A的坐标为（-2，0），圆M的方程为（x-1）²+y²=4，过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l₂的方程为y=k（x+2．由此入手可知所求直线的方程为x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0．

解答：解：（Ⅰ）F（-c，0），
∵椭圆的离心率为

1

2

，
∴∠FBO=300，∴b=

3

c，
∴B（0，

3

c），C（3c，0）
∴FC=4c=4，解得c=1，a=2，b=

3

∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；（6分）
（II）点A的坐标为（-2，0），
圆M的方程为（x-1）²+y²=4，
过点A斜率不存在的直线与圆不相交，
设直线l₂的方程为y=k（x+2），（7分）
∵

MP

•

MQ

=-2，又|

MP

|=|

MQ

|=2，
∴cos＜MP，MQ＞=

MP • MQ

| MP |•| MQ |

=-

1

2

． （9分）
∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l₂的距离d=

1

2

r=1，
所以

|k+2k|

k2+1

=1，
∴k=±

2

4

；
所求直线的方程为x+2

2

y+2=0或X-2

2

y+2=0． （12分）

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．