Question

6．已知点A（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，0），以线段AB为边，在第一象限内作正三角形ABC，一次函数y=kx+b的图象经过点C，与x轴，y轴分别交于D、E，且ED∥AB．
（1）求线段OE及BD的长；
（2）求一次函数y=kx+b的解析式；
（3）如果S_△ABP=S_△ABC，且点P（a，4$\sqrt{3}$）（a＞0），求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原点与线段AB的距离，三角形ABC的高，利用相似比求解线段OE及BD的长．
（2）利用点斜式求解直线方程即可．
（3）利用点到直线的距离，结合三角形的面积求解即可．

解答 解：（1）原点到直线AB的距离为：d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
三角形ABC的高为：$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{（\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}+{（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$，ED∥AB，可得
△OAB∽EOD$\frac{OA}{OE}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{8}}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{8}}$，可得OE=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}（\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{8}）}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$=4$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
$\frac{BD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$，可得BD=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{8}}×\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）AB的斜率为：$-\sqrt{15}$，
ED的方程为：y=-$\sqrt{15}$（x-4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）．
即y=$-\sqrt{15}$x-12$\sqrt{5}$+$\frac{15}{2}$．
（3）如果S_△ABP=S_△ABC，且点P（a，4$\sqrt{3}$）（a＞0），AB的方程为：$\frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=1$
可得$\sqrt{3}$=$\frac{|2a+\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{15}}-1|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}+{（\frac{1}{2}）}^{2}}}$，
解得a=$\frac{1}{2}±\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查直线方程的应用，三角形的几何计算，三角形相似的应用，考查计算能力．