Question

5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cos（x-A），sin（x-A））$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n（x∈R）$在$x=\frac{5π}{12}$处取得最大值．
（1）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且$sinB+sinC=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积运算也三角恒等变换化简函数f（x），再求f（x）的值域；
（2）由正弦定理和余弦定理，求△ABC的面积．

解答 解：（1）$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cos（x-A），sin（x-A））$，
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sinxcos（x-A）+cosxsin（x-A）=sin（2x-A）；
又函数f（x）在$x=\frac{5π}{12}$处取得最大值，
∴$2×\frac{5π}{12}-A=\frac{π}{2}$，解得$A=\frac{π}{3}$；
∴$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）$；
∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$（{2x-\frac{π}{3}}）∈（{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}）$，
则函数f（x）的值域为$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$；…（6分）
（2）由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{7}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{14}{{\sqrt{3}}}$，
∴$sinB=\frac{{\sqrt{3}b}}{14}，sinC=\frac{{\sqrt{3}c}}{14}$，
∴$sinB+sinC=\frac{{\sqrt{3}b}}{14}+\frac{{\sqrt{3}c}}{14}=\frac{{13\sqrt{3}}}{14}$，
∴b+c=13，
由余弦定理得b²+c²-2bccosA=a²，
∴（b+c）²-2bc（1+cosA）=a²，
又∵b+c=13，a=7，∴bc=40，
则三角形的面积为$S=\frac{1}{2}bcsinA=10\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合题．