Question

已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）奇函数，（2），(3)

试题分析：（1）函数奇偶性的判定，一要判定定义域是否关于原点对称，二要判定与是否相等或相反，（2）函数 是分段函数，每一段都是二次函数的一部分，因此研究 单调性，必须研究它们的对称轴，从图像可观察得到实数 满足的条件： ，(3)研究方程根的个数，通常从图像上研究，结合（2）可研究出函数图像.分三种情况研究，一是上单调增函数，二是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增，三是先在上单调增，后在上单调减，再在上单调增.
试题解析：（1）函数为奇函数．
当时，，，∴
∴函数为奇函数；                    3分
（2），当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；∴当时，在R上是增函数，即时，函数在上是增函数；                   7分
（3）方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根；                               9分
②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．
设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， ∴，又可证在上单调增
∴∴；      12分
③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；
即，∵∴，设
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调减∴
∴；                    15分
综上：．            16分