Question

11．已知函数f（x）=（x²+ax）e^x的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-$\sqrt{5}$，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）当m≤-e时，求证：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$e^x．

Answer 1

分析 （1）求得导数，由极值点的定义可得x₁，x₂为x²+（a+2）x+a=0的两根，运用韦达定理和求根公式，以及导数的几何意义，即可得到所求值；
（2）运用分析法证明，要证不等式成立，即证（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$，主要求得左边函数的最小值不小于右边函数的最大值，运用导数和二次函数的最值求法，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²+ax）e^x的导数为
f′（x）=（x²+（a+2）x+a）e^x，
由题意可得x₁，x₂为x²+（a+2）x+a=0的两根，
x₁+x₂=-a-2=-2-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$，
即有x₁x₂=$\sqrt{5}$，
解得x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为k=a=$\sqrt{5}$，
综上可得，k=$\sqrt{5}$，x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
（2）证明：要证[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$e^x，
即证（x²+$\sqrt{5}$x+2）•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$，
即证（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$，
由y=（x-2）e^x-m+1的导数为（x-1）e^x，
当x＞1时，函数递增，当x＜1时，函数递减．
即有x=1处取得最小值，且为1-m-e；
又$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$≤$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{2-\frac{5}{4}}$=1，
当m≤-e时，1-m-e≥1+e-e=1，
则（x-2）e^x-m+1＞$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{x}^{2}+\sqrt{5}x+2}$成立，
故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查韦达定理及求根公式，以及不等式的证明，注意转化为函数的最值的比较，属于中档题．