题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，设P是双曲线右支上一点，
F1F2
在
F1P
上的投影的大小恰好为|
F1P
|，且它们的夹角为arccos
4
5
，则双曲线的渐近线方程为
 
．
分析：由已知条件推导出PF1⊥PF2，cos∠PF1F2=
PF1
F1F2
=
4
5
，再由双曲线定义能求出双曲线渐近线方程．
解答：解：∵
F1F2
在
F1P
上的投影的大小恰好为|
F1P
|，
∴PF1⊥PF2，
又∵
F1F2
，
F1P
的夹角为arccos
4
5
，
∴cos∠PF1F2=
PF1
F1F2
=
4
5
，
令PF1=4x，则F1F2=5x，PF2=3x，
由双曲线定义知PF1-PF1=2a，
∴F1F2=5x=2c，即c=5a，
∴
b
a
=
c2-a2
a
=2
6
，
∴双曲线渐近线方程为y=±2
6
x．
故答案为：y=±2
6
x．
点评：本题考查双曲线的渐近线方程、投影的基本性质，解题时要熟练掌握双曲线的定义、性质及应用．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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