Question

如图，点是以线段为直径的圆上一点，于点，过点作圆的切线，与的延长线交于点，点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：是圆的切线.

Answer 1

（Ⅰ）详见试题解析；（Ⅱ）详见试题解析.

试题分析：（Ⅰ）由，可得，从而可得
通过等量代换及题设“点是的中点”可得.
（Ⅱ）目标是要证是直角，连结便可看出只要证得是等腰三角形即可．显然是等腰三角形。因为直径上的圆周角是直角，，所以是直角三角形. 由（Ⅰ）得所以，从而本题得证.
试题解析：证明：（Ⅰ） 是圆的直径，是圆的切线，
．又，
．
可以得知，   ．
．．
是的中点，．．                        5分

（Ⅱ）连结．
是圆的直径，．
在中，由（Ⅰ）得知是斜边的中点，
．．
又，．
是圆的切线，
，
是圆的切线．                                                   10分