Question

（本小题满分14分）  已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若函数在上单调递减，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）已知，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，．

由可得或；由可得．

故函数在区间，上单调递增；在区间上单调递减．

故函数在处取得极大值；在处取得极小值．       4分

（Ⅱ）当时，，则，函数在上单调递减，则有：

解得，

故实数m的取值范围是．    8分

（Ⅲ）设切点，则切线的斜率，又，所以切线的方程是

，又切线过原点，则：

，

∴，解得，或．   10分

两条切线的斜率为，，

且，

由，，得，，

∴，

所以，      12分

又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且．

故函数．    14分版权所有：(www..com)