Question

已知函数，，其中.
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

(1)；(2)．

试题分析：（1）利用函数极值点的导数等于0，且此点的左侧和右侧导数的符号相反，求得实数的值；（2）问题等价于对任意的时，都有，分类讨论，利用导数的符号判断函数的单调性，由单调性求出函数的最小值及的最大值，根据它们之间的关系求出实数的取值范围．
试题解析：(1)∵，其定义域为，∴．
∵是函数的极值点，∴，即.
∵，∴．
经检验当时，是函数的极值点，∴．
(2)对任意的都有成立等价于对任意的，都有．
当时，．
∴函数在上是增函数，∴.
∵，且，．
①当且时，，
∴函数在上是增函数，∴．
由，得a≥，
又，∴不合题意．
②当时，
若，则，
若，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
∴.
由，得．又，∴．
③当且时，，
函数在上是减函数．
∴.
由，得．又，∴.
综上所述，的取值范围为．