Question

选修4-1：几何证明选讲
已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA与⊙O切于A点，∠ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D．
（Ⅰ）求证：AD=AF；
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等角对等边，即可得到结论；
（Ⅱ）先证明△BCA∽△ACE，再确定∠CAE=∠B=∠ACB=30°，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）∵CA与⊙O切于A点，∴∠CAE=∠E，
又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，…（2分）
∴∠ADF=∠B+∠DCB=∠CAE+∠ACD=∠AFD，…（4分）
∴AD=AF；                                 …（5分）
（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠CAE=∠B=∠ACB，
又∵∠ACB=∠ACB，…（6分）
∴△BCA∽△ACE，
∴

AC

BC

=

AE

AB

，…（8分）
又∵180°=∠ACE+∠CAE+∠AEC=∠ACE+∠CAE+（90°+∠ABE），
∴∠CAE=∠B=∠ACB=30°，
∴

AC

BC

=

AE

AB

=

3

3

．…（10分）

点评：本题考查圆的切线的性质，考查三角形的相似，解题的关键是确定角的相等关系，属于中档题．