题目内容

18．一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示，其中Ai，Bi，Ci，Di，Gi（i=1，2，3）分别是A，B，C，D五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形A1B1C1D1为正方形且A1B1=2a；在左视图中A2D2⊥A2G2，俯视图中A3G3=B3G3，
（Ⅰ）根据三视图作出空间几何体G-ABCD的直观图，并标明A，B，C，D，G五点的位置；
（Ⅱ）在空间几何体G-ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在直线CG上，求证：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D-ACG的体积及其外接球的表面积．

分析 （Ⅰ）由三视图我们可以判断这个几何体是四棱锥，又由四边形A1B2C3D4为正方形，且A1B2=2a；在侧视图中，A2D2⊥A2G2；在俯视图中，G3D3=G3C3=．我们易画出几何体的直观图．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的直观图我们易判断AG⊥平面BCG，根据面面垂直的判断定理，我们易得到平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）过点G作GE⊥AB于点E，取AC的中点M，可证得M是四棱锥D-ACG的外接球的球心，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）空间几何体的直观图如图所示，

（Ⅱ）在空间几何体G-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABG，四边形ABCD为正方形，
AG=BG=$\sqrt{2}$a，AB=2a，
故AG⊥BG（4分）
∵平面ABCD⊥平面ABG，
面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG（6分）
又AG⊥BG，
∴AG⊥平面BGC．
∴平面AGD⊥平面BGC（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AG⊥GB，AG⊥CG，
∴△ABG为等腰直角三角形，
过点G作GE⊥AB于点E，则$GE=\frac{1}{2}AB=a$，$AG=BG=\sqrt{2}a$
∴${V_{D-ACG}}={V_{G-ADC}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AD•DC•GE=\frac{2}{3}{a^3}$…（9分）
取AC的中点M，由于△AGC和△ACD均为直角三角形，
所以$MD=MG=MA=MC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}a$
∴M是四棱锥D-ACG的外接球的球心，半径为$\sqrt{2}a$，
${S_球}=4π{（{\sqrt{2}a}）^2}=8π{a^2}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积，根据三视图分析出几何体的形状及相关棱的长度和棱的关系是解答本题的关键．

练习册系列答案
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