Question

已知F₁、F₂是椭圆的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．
（1）若椭圆C的离心率为，且的最大值为8，求椭圆C的方程；
（2）若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x，y），可得=+-c²，根据P是椭圆C上的点，满足=b²（1-），且-a＜x＜a，所以=（1-）+b²-c²≤b²，当且仅当=a²时，的最大值为b²=8，根据椭圆的离心率为，可算出a²=12，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据△F₁PF₂为等腰三角形，可得点P为直角顶点时，P是短轴顶点；P是锐角顶点时，长轴是焦距的1+倍．由此计算可得椭圆C的离心率．
解答：解：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x，y），可得=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
∴=（-c-x）（c-x）+=+-c²
∵P是椭圆C上的点，满足=b²（1-），且-a＜x＜a
∴=（1-）+b²-c²≤（1-）•a²+b²-c²=b²
所以，当且仅当=a²时，的最大值为b²=8，可得b=2
∵椭圆的离心率为，∴，可得a=c，b=c
∴c=2，a=2，椭圆C的方程是
（2）∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，
∴①点P为直角顶点时，P必定是短轴顶点，
OP=F₁F₂=c，即b=c，=c，可得a²=2c²，即a=c
∴椭圆C的离心率e==
②当某焦点是直角顶点时，
2a=PF₁+PF₂=（1+）F₁F₂=（1+）×2c
∴椭圆C的离心率e====
综上所述，该椭圆的离心率e=-1或．
点评：本题已知椭圆上一点P满足数量积的最大值为8，且离心率已知的情况下求椭圆的方程，着重考查了平面向量的数量积和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．