Question

已知椭圆的离心率为，且过点

（1）求椭圆的标准方程：

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若

（ⅰ）求的最值：

（ⅱ）求证：四边形ABCD的面积为定值.

 

Answer 1

（1）;（2） （ⅰ）;（ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；

（ⅱ）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4×S△AOB=2|OA||OB|s1n∠AOB，得到，代入计算即可证明．

试题解析：【解析】
（1）

（2）

，

考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.三角形的面积公式；3.平面向量数量积的运算；4.椭圆的标准方程．