Question

已知（ax+2b）⁶的展开式中x³与x⁴的系数之比为4：3，其中a＞0，b≠0．
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）令F（a，b）=

b3+16

a

，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：（1）确定a=2b，展开式中二项式系数最大即为系数最大的项；
（2）求出F（a，b）=

b3+16

a

，利用基本不等式求F（a，b）的最小值．

解答： 解：设通项为Tr+1=

C

r 6

(ax)6-r(2b)r=

C

r 6

a6-r(2b)rx6-r，则依题意：

C 3 6 a3(2b)3

C 2 6 a4(2b)2

=

4

3

从而得到：a=2b．                                                 （4分）
（1）展开式（ax+2b）⁶=a⁶（x+1）⁶的二项式系数最大即为系数最大．即T4=

C

3 6

a6x3=20a6x3（8分）
（2）由a=2b，得到：F(a，b)=

b3+16

a

=

b3+16

2b

=

1

2

(b2+

16

b

)=

1

2

(b2+

8

b

+

8

b

)≥

1

2

•3

3	b2• 8 b • 8 b

=6
当且仅当b2=

8

b

，即b=2时，取等号，所以F（a，b）的最小值为6．（14分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．