题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的 $数学公式$ ，求实数m的取值范围．

解：（1）当a=2时，f（x）= $\text{[math]}$ ，定义域为（- $\text{[math]}$ ，+∞）．
f′（x）=2x-2+ $\text{[math]}$ =2x-2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
由f′（x）＞0，得 $\text{[math]}$ ，或x＞ $\text{[math]}$ ；由f′（x）＜0，得0＜x＜ $\text{[math]}$ ．
所以函数f（x）的单调递增区间为（ $\text{[math]}$ ，0），（ $\text{[math]}$ ，+∞），单调递减区间为（0， $\text{[math]}$ ）．
（2）y=f（x）的定义域为（- $\text{[math]}$ ，+∞）．
f′（x）=2x-a+ $\text{[math]}$ =2x-a+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当1＜a＜2时， $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，即 $\text{[math]}$ ，
所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1-a+ln（ $\text{[math]}$ ）．
依题意，对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），
即可转化为对任意的a∈（1，2），1-a+ln（ $\text{[math]}$ ）-m（1-a²）＞0恒成立．
设g（a）=1-a+ln（ $\text{[math]}$ ）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
则g′（a）=-1+ $\text{[math]}$ +2ma= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
①当m≤0时，2ma-（1-2m）＜0，且 $\text{[math]}$ ＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．
②当m＞0时，g′（a）= $\text{[math]}$ ，
若 $\text{[math]}$ ，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；
若1＜ $\text{[math]}$ ＜2，则g（a）在（1， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；
若 $\text{[math]}$ ，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，
则恒有g（a）＞g（1）=0，所以 $\text{[math]}$ ，解得m $\text{[math]}$ ，所以m的取值范围为[ $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），等价于f（x₀）_min＞m（1-a²），用导数可求f（x₀）_min，构造函数g（a）=f（x₀）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），问题转化为g（a）_min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．
点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．