Question

（12分）已知函数．

（1）当a=1时，证明函数只有一个零点；

（2）若函数在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解析：（1）当a=1时，，其定义域是，

                               -------1分

     令，即，解得或．

    ∵x>0，舍去．

       当时，；当时，．

∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减-------4分

     ∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

     ∴函数只有一个零点．                                              --------------------6分

（2）因为其定义域为，

所以----------7分

①当a=0时，在区间上为增函数，不合题意----8分

②当a>0时，等价于，即．

此时的单调递减区间为．

依题意，得解之得                ---------------------10分

③当a<0时，等价于，即?

此时的单调递减区间为， 得

综上，实数a的取值范围是         -----------------12分