Question

【题目】已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值

（3）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析（3）存在，最大值为．

【解析】

（1）由已知解方程组即可；

（2）设出直线BD的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理解决；

（3）将△ABD面积表示成，再利用基本不等式求得最值.

（1）∵点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，

∴，解得a＝2，，，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设D（x1，y1），B（x2，y2），

设直线BD的方程为，

直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，

则kAD+kAB

，（*）

联立，

∴△＝﹣8t2+64＞0，解得﹣2t＜2，，﹣﹣﹣﹣①，②，

将①、②式代入*式整理得0，

∴kAD+kAB＝0，∴直线AB，AD的斜率之和为定值．

（3）|BD||x1﹣x2|，

设d为点A到直线BD：的距离，∴，

∴，

当且仅当t＝±2时取等号，

∵±2，∴当t＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为．