Question

【题目】已知函数，其中.

（1）判断函数的单调性；

（2）设，是的两个零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）在区间上单调递减；在区间上单调递增（2）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的定义域，求导可得，令，可知函数在上单调递增，又，由此即可函数的单调性情况；

（2）构造函数的图象关于直线对称的曲线为，可得，再分及讨论即可得证.

（1）函数的定义域为，

，.

记，，

，

故函数在上单调递增，又.

所以当时，，故在区间上单调递减；

当时，，故在区间上单调递增.

（2）由（1）知，设，所以，.

设函数的图象关于直线对称的曲线为，

记为图象上的任意一点，它关于直线的对称点为，

则，

由，，则有.

（1）当时，显然有；

（2）当时，记，

则，即，

所以当时，，

因为，，且函数在区间单调递减，

所以有，得.

综上所述，.