Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若a=﹣4，f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2+2ax+b，

若函数f（x）在x=1处有极值为10，

则 或 ，

当 时，f'（x）=3x2+8x﹣11，

△=64+132＞0，所以函数有极值点；

当 时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，

所以函数无极值点；

则b的值为﹣11

（2）解：a=﹣4时，f（x）=x3﹣4x2+bx+16，

f'（x）=3x2﹣8x+b≥0对任意的x∈[0，2]都成立，

即b≥﹣3x2+8x，x∈[0，2]，

令h（x）=﹣3x2+8x，对称轴x= ，

函数h（x）在[0， ）递增，在（ ，2]递减，

故h（x）max=h（ ）= ，

故b≥ ，

则b的最小值为

【解析】（1）首先求出，根据题意得且，解关于a,b的方程组得到或，经检验当时函数无极值点，舍去。（2）由题意，将原问题转化为，结合二次函数的性质可得b的最小值为。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．