Question

已知点是椭圆：上一点，分别为的左右焦点，，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：本题考查椭圆的定义、余弦定理及韦达定理的应用.第一问是利用三角形面积公式、余弦定理、椭圆的定义，三个方程联立，解出，再根据的关系求，本问分析已知条件是解题的关键；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.
试题解析：（Ⅰ）在中，
由，得．
由余弦定理，得
，
从而，即，从而，
故椭圆的方程为．                                          6分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得．                 8分
设，，，．
从而．                                                                             11分
当直线的斜率不存在时，得，得．
综上，恒有．                                              12分