Question

四棱锥P－ABCD中，底面是正方形，PA垂直于底面，过A的截面AEFG分别交PB、PC、PD于E、F、G，且PC截面AEFG．

(1)求证：点A、B、C、D、E、F、G在同一球面上；

(2)若PA=AB=1，求截面AEFG截(1)中的球的截面面积．

Answer 1

答案：
解析：

如图，因为ABCD为正方形，PC截面AEFG，则AFPC，利用直径所对的圆周角是直角，猜想这个球的球心在正方形中心O，可知A、B、C、D、F在以O为球心，AC为半径的球面上，以下只需证明G、E到O的距离也是AC即可． 证明：(1)设正方形ABCD中心为O，AC=2r，连AF，因为PC平面AEFG、AF平面AEFG，所以PCAF，Rt△AFC中，OF=AC=r．又CDAD，CDPA，所以CD平面PAD；AG平面PAD，所以CDAG，PCAG，所以AG平面PCD，GC平面PCD，所以AGGC，OG=AC=r；同理可证：OE=r，所以A、B、C、D、E、F、G各点到O的距离均为r，它们同在以O为球心、AC为半径的球面上． (2)因为PA=AB=1，所以r=，因为平面AEFG截球，由(1)知A、E、F、G在球面上，所以AEFG为截面圆上的四个点，又AG平面PCD，FG平面PCD，因为PC=，所以AF===，截面圆的面积S=()=．