Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，点A（3，0），点P在椭圆C上．求|PA|的最小值．

Answer 1

分析 设P（5cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π）），利用两点之间的距离公式可得：|PA|=$\sqrt{（5cosθ-3）^{2}+（3sinθ）^{2}}$=$\sqrt{16（cosθ-\frac{15}{16}）^{2}+\frac{63}{16}}$，即可得出．

解答 解：设P（5cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π）），
则|PA|=$\sqrt{（5cosθ-3）^{2}+（3sinθ）^{2}}$=$\sqrt{16co{s}^{2}θ-30cosθ+18}$=$\sqrt{16（cosθ-\frac{15}{16}）^{2}+\frac{63}{16}}$≥$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，当且仅当cosθ=$\frac{15}{16}$时取等号．
∴|PA|的最小值是$\frac{3\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程、参数方程、两点之间的距离公式、二次函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．