Question

如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明．
（2）建立空间直角坐标，利用向量法求二面角的大小．
解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M（0，1，1）．
（1），，，
∴
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）设平面EBC的法向量为，则且，
∴．
∴，取y=-1，则x=1，则．
又∵为平面EBC的一个法向量，且），
∴，
设二面角A-EB-C的平面角为θ，则，
∴二面角A-EB-C等60°．
点评：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，运算量较大．