Question

如图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x），则f（x）的最小正周期为

 

；  y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为

 

．
（说明：“正方形PABC 沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．）

Answer 1

分析：正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

解答：解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，
这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长2，因此该函数的周期为8．
下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，
P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动

1

4

个圆，该圆半径为2，
然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，BP=2

2

，旋转90°，
然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP=2为半径，
因此最终构成图象如下：

S=2×

1

4

π•22+2×

1

2

×2×2+

1

4

•π•(2

2

)2=2π+4+2π=4π+4．
故答案为：8，4π+4．

点评：本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．