Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{1，\frac{π}{2}≤x≤2}\\{x-1，2≤x≤4}\end{array}\right.$先画出函数图，求在[0，4]上的定积分．

Answer 1

分析 分段作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{1，\frac{π}{2}≤x≤2}\\{x-1，2≤x≤4}\end{array}\right.$的图象，${∫}_{0}^{4}$f（x）dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx+${∫}_{\frac{π}{2}}^{2}$dx+${∫}_{2}^{4}$（x-1）dx，从而分别求出即可．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，0≤x≤\frac{π}{2}}\\{1，\frac{π}{2}≤x≤2}\\{x-1，2≤x≤4}\end{array}\right.$的图象如下，
，
故${∫}_{0}^{4}$f（x）dx
=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sinxdx+${∫}_{\frac{π}{2}}^{2}$dx+${∫}_{2}^{4}$（x-1）dx
=-cosx$|\left.\begin{array}{l}{\frac{π}{2}}\\{0}\end{array}\right.$+（2-$\frac{π}{2}$）+（$\frac{1}{2}$x²-x）$|\left.\begin{array}{l}{4}\\{2}\end{array}\right.$
=-cos$\frac{π}{2}$+cos0+（2-$\frac{π}{2}$）+$\frac{1}{2}×{4}^{2}$-4-（$\frac{1}{2}×{2}^{2}$-2）
=1+2-$\frac{π}{2}$+8-4-（2-2）
=7-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了学生的作图能力及分段函数的应用，同时考查了定积分的求法．