Question

【题目】已知函数f(x)＝2x－ 的定义域为(0，1](a为实数).
（1）当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
（2）求函数y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：当a＝1时，f(x)＝2x－ ，任取1≥x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－ ＝(x1－x2) .
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1].
（2）解：当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋ ，
当 ≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当 ＜1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在 上单调递减，在
上单调递增，无最大值，当x＝ 时取得最小值2 .
【解析】本题主要考查求解函数的值域以及最值问题。（1）利用函数的单调性求函数的值域问题。（2）根据函数的单调性求函数在区间上的最值问题。