Question

已知F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，线段PF₁与y轴的交点M满足．
（1）求椭圆的标准方程；   
（2）（文）过F₂的直线l交椭圆于A，B两点，且，求直线l方程．
（2）（理）过F₁作不与x轴重合的直线l，l与圆x²+y²=a²+b²相交于A、B．并与椭圆相交于C、D．当，且时，求△F₂CD的面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点P（1，）在椭圆上，线段PF₁与y轴的交点M满足，可得方程，a²-b²=1，由此可求椭圆的标准方程；
（2）（文）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由得：x₁=3-2x₂，y₁=-2y₂，由此可求直线的方程；
（2）（理）设l方程为x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得（t²+1）y²-2ty-2=0，利用=-2，及 ，可得t²∈[，]；由，得（t²+2）y²-2ty-1=0，设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），从而可得S_△F1CD=|F₁F₂|y₃-y₄|=|y₃-y₄|，换元，确定S的单调性，即可得到结论
解答：解：（1）∵点P（1，）在椭圆上，线段PF₁与y轴的交点M满足，
∴，a²-b²=1
∴a²=2，b²=1
∴椭圆的标准方程为；
．（2）（文）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由得：x₁=3-2x₂，y₁=-2y₂
由解得：
∴
∴直线的方程为；
（2）（理）设l方程为x=ty-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得（t²+1）y²-2ty-2=0
=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（ty₁-2）（ty₂-2）+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂-2t（y₁+y₂）+4
=-2，
由 ，得t²∈[，]，
由，得（t²+2）y²-2ty-1=0
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则S_△F1CD=|F₁F₂|y₃-y₄|=|y₃-y₄|=
设m=t²+1，则S=，m∈
S关于m在上是减函数．所以S∈．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查面积的计算，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．