Question

有如下四个命题：
①函数f（x）=|x-1|在x=1处连续且f′（1）=1；
②f（x）在x₀处可导g（x）在x₀处不可导，则f（x）•g（x）在x₀处一定不可导；
③函数f（x）在（-∞，+∞）内可导且f（x）为奇函数，则f′（x）为偶函数；
④函数f（x）在x₀取得极值，则f′（x₀）=0．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由函数f（x）=|x-1|在x=1处的左右导数不等判断①；举例说明②错误；由导数的概念结合函数的奇偶性判断③；举例说明④错误．

解答： 解：对于①，函数f（x）=|x-1|在x=1处连续但不可导，原因是函数的左导数为-1，右导数为1，命题①错误；
对于②，f（x）在x₀处可导，g（x）在x₀处不可导，则f（x）•g（x）在x₀处一定不可导，错误．
如f（x）=x，g（x）=|x|，f（x）在0处可导，g（x）在0处不可导，但f（x）•g（x）=

x2，x＞0 -x2，x＜0

在x=0处的导数为0；
③函数f（x）在（-∞，+∞）内可导且f（x）为奇函数，则f′（x）为偶函数，正确．
事实上，f′(x)=

lim

h→0

f(x+h)-f(x)

h

，f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

，
f（x）为奇函数，则f（-x+h）=-f（x-h），f（-x）=-f（x），
∴f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

=

lim

h→0

-f(x-h)+f(x)

h

=

lim

h→0

f(x-h)-f(x)

-h

=f′（x）．
∴f′（x）为偶函数；
对于④，函数f（x）在x₀取得极值，则f′（x₀）=0错误，如f（x）=|x|在x=0处取得极值，但函数在x=0处不可导．
故答案为：③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数可导与连续的关系，考查了导函数的概念，是中档题．