Question

在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面．

（I） 证明：平面；
（II）求二面角的余弦值.

Answer 1

（I）见解析；（II）．

试题分析：（I）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，
所以AB⊥平面VAD；（II）法一：先做出所求二面角的平面角，再由余弦定理求平面角的余弦值，既得所求；法二：设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD，又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系，写出各个点的空间坐标，分别求平面VAD的法向量和平面VDB的法向量，可得结论．
试题解析：（Ⅰ）因为平面VAD⊥平面ABCD，平面VAD∩平面ABCD=AD，又AB在平面ABCD内，AD⊥AB，
所以AB⊥平面VAD．    3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥AB，AB⊥AV．依题意设AB=AD=AV=1，所以BV=BD=． 6分

设VD的中点为E,连结AE、BE，则AE⊥VD，BE⊥VD，
所以∠AEB是面VDA与面VDB所成二面角的平面角．      9分
又AE=，BE=，所以cos∠AEB==．
12分
（方法二）
（Ⅰ）同方法一．    3分
（Ⅱ）设AD的中点为O，连结VO，则VO⊥底面ABCD．
又设正方形边长为1，建立空间直角坐标系如图所示．    4分

则，A（，0，0），    B（，1，0），
D（ ，0，0），   V（0，0，）；
    7分
由（Ⅰ）知是平面VAD的法向量．设是平面VDB的法向量，则
    10分
∴，