Question

正四棱锥中，，点M，N分别在PA，BD上，且．

（Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；
（Ⅱ）求证：∥平面PBC；
（Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

（1）90^o
（2）要证明线面平行，则主要证明线线平行即可，结合判定定理得到。
（3）

试题分析：（Ⅰ）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2。以点O为坐标原点，，方向分别是x轴、y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D（-1，-1，0），
设P（0，0，p）, 则=(-1,1,p)，又AP=2,∴1+1+p²=4,∴p=,
∵=,
,
∴,,
∵,∴异面直线MN与AD所成角为90^o
（Ⅱ）∵,
设平面PBC的法向量为="(a,b,c)," 则,
取= , ∵,∴MN∥平面PBC。      
（Ⅲ）设平面PAB的法向量为="(x,y,z),"
由，∴则,        
取= , cos<> =,
∴MN与平面PAB所成角的正弦值是            

点评：主要是考查了线面的位置关系的运用，属于中档题。