Question

20．已知F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）是椭圆上一点，且$\sqrt{2}$|PF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{2}$|PF₂|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F₂，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-$\frac{7}{16}$恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=$\sqrt{2}$c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；
（2）设Q（m，0），讨论直线l的斜率，求出A，B坐标，列方程解出m．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$|PF₁|，|F₁F₂|，$\sqrt{2}$|PF₂|成等差数列，
∴$\sqrt{2}$|PF₁|+$\sqrt{2}$|PF₂|=2|F₁F₂|，即2$\sqrt{2}$a=4c，∴a=$\sqrt{2}c$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}c}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=-\frac{7}{16}$恒成立．
①当直线l的斜率为0时，A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{QA}$=（-$\sqrt{2}$-m，0），$\overrightarrow{QB}$=（$\sqrt{2}$-m，0）．
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=m²-2=-$\frac{7}{16}$，解得$m=\frac{5}{4}$或m=-$\frac{5}{4}$．
②若直线l无斜率，则A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{QA}$=（1-m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{QB}$=（1-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（1-m）²-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$，解得m=$\frac{5}{4}$或m=$\frac{3}{4}$．
③若直线l斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消元得：（t²+2）y²+2ty-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$．
∴x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{t}^{2}+2}$，
x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=$\frac{-2{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{QA}$=（x₁-m，y₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-m，y₂）．
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂
=$\frac{-2{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2}$-$\frac{4m}{{t}^{2}+2}$+m²-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$=$\frac{（{m}^{2}-2）{t}^{2}+2{m}^{2}-4m+1}{{t}^{2}+2}$=-$\frac{7}{16}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2+{m}^{2}=-\frac{7}{16}}\\{2{m}^{2}-4m+1=-\frac{7}{8}}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{5}{4}$．
综上，Q点坐标为（$\frac{5}{4}$，0）．

点评 本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、属于中档题．