Question

8．设函数f（x）=x^a+ax的导函数f'（x）=2x+2，则数列{${\frac{1}{f（n）}$}的前9项和是（　　）

• A． $\frac{29}{36}$
• B． $\frac{31}{44}$
• C． $\frac{36}{55}$
• D． $\frac{43}{66}$

Answer 1

分析 利用导数的运算法则可得f（x）=x²+2x，再利用“裂项求和”，即可得出．

解答 解：函数f（x）=x^a+ax的导函数f'（x）=2x+2，
∴f（x）=x²+2x，
∴${\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴${S_9}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）=\frac{36}{55}$．
故选：C．

点评 本题考查了导数的运算法则、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．