Question

已知二次函数的最小值为，且关于的一元二次不等式的解集为。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设其中，求函数在时的最大值；
（Ⅲ）若（为实数），对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）（Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）属于三个二次之间的关系，由一元二次不等式的解集为 可知二次函数有两个零点分别为-2,0.求得a与b的关系，再根据的最小值为-1，得的值求出解析式,( Ⅱ)由（Ⅰ）得出解析式再利用二次函数动轴定区间思想求解, （Ⅲ）利用( Ⅱ)得出的解析式，再利用单调性求得k的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）0,2是方程的两根，，又的最小值即 
所以                                  .（4分）
（Ⅱ）
分以下情况讨论的最大值 
（1）.当时，在上是减函数，
                        .（6分）
（2）.当时，的图像关于直线对称，
，故只需比较与的大小.
当时，即时，. （8分）
当时，即时，
；         .（9分）
综上所得.                    .（10分）
（Ⅲ），函数的值域为
在区间上单调递增，故值域为，对任意，总存在使得成立，则
                             .（14分）