题目内容

已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2），a4=81．
（1）求数列的前三项a1，a2，a3；
（2）数列{
an+p
2n
}为等差数列，求实数p的值；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
（1）由an=2an-1+2n-1（n∈N+，且n≥2）得a4=2a3+24-1=81，得a3=33
同理，得a2=13，a1=5…（4分）
（2）对于n∈N，且n≥2，
∵
an+p
2n
-
an-1+p
2n-1
=
an-2an-1-p
2n
=
2n-1-p
2n
=1-
1+p
2n

又数列{
an+p
2n
}为等差数列，∴
an+p
2n
-
an-1+p
2n-1
是与n无关的常数，
∴1+p=0，p=-1…（8分）
（3）由（2）知，等差数列{
an+p
2n
}的公差为1，
∴
an-1
2n
=
a1-1
2
+(n-1)=n+1，得an=(n+1)•2n+1．…（9分）
∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n+n，
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n，则有2Tn=+2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1，
两式相减，得 Tn=n×2n+1，
故  Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1)．…（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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