Question

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1．E为PD的中点．

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）求异面直线AB与PC所成的角的正切值．

Answer 1

考点：

异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．

专题：

计算题；空间角．

分析：

（1）取AD的中点F．连接EF，CF．由题设条件推导出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能够证明CE∥面PAB．

（2）由CF∥AB，知∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，利用题设条件推导出CF⊥面PAD，由此能够求出异面直线AB与PC所成的角的正切值．

解答：

解：（1）取AD的中点F．连接EF，CF．

∵PA⊥面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD，E为PD的中点．

∴EF∥PA，CF∥AB，

∴面EFC∥面PAB，

所以CE∥面PAB．…（6分）

（2）∵CF∥AB，

∴∠PCF为异面直线AB与PC所成的角，

∵∠BAD=90°，CF∥AB，∴CF⊥AD，

∵PA⊥面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴CF⊥PA，

又∵PA∩AD=A，∴CF⊥面PAD．

∵PA=AB=BC=AD=1，

∴PF=，CF=1，

∴在直角△PCF中，

tan∠PCF==．

故异面直线AB与PC所成的角的正切值为．…（12分）

点评：

本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．