Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=4，AD=6，F，E分别是线段PD，CD的中点．
（1）求直线AF和PB所成角的余弦值；
（2）求二面角F-AE-B平面角的余弦值．

Answer 1

分析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴立空间直角坐标系，写出A，B，C，D，E，F，P各点坐标，
（1）求出

AF，

PB

夹角余弦值，再根据异面直线夹角与直线方向向量夹角关系求出．
（2）先求出平面BAE，面FAE的法向量，再求出两法向量夹角的余弦值，利用二面角平面角与法向量夹角关系求出即可．

解答：解：如图以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（6，0，0），C（6，6，0）D（0，6，0），P（0，0，4）E（3，6，0），F（0，3，2）．
（1）cos＜

AF

，

PB

＞=

AF • PB

| AF || PB |

=

4

13

…（6分）
∴直线AF和PB所成角的余弦值为

4

13

（2）由图易知设平面BAE的一个法向量为

n

=(0，0，1)．
设平面FAE的法向量为

m

=(x，y，z)，由

m

•

AF

=0，

m

•

AE

=0．得

3y+2z=0 3x+6y=0

令y=2，则

m

=（-4，2，-3）∴|cos＜

n

，

m

＞|= 

3

(-4)2+22+(-3)2

= 

3

29

因为二面角F-AE-B为钝二面角，所以二面角F-AE-B平面角的余弦值为-

3 29

29

．…（13分）

点评：本题考查空间角的度量考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．