Question

如图，已知三棱锥P-ABC，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．求证：PC⊥BC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：在三角形PAB中，根据中线PD=

1

2

AB，证出PA⊥PB．再结合PA⊥PC，利用线面垂直的判定定理证出AP⊥平面PBC，从而得到AP⊥BC，可证平面PAC⊥平面ABC，从而证出BC⊥平面PAC，即可证明PC⊥BC．

解答： 证明：∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，设AB=2，
∴AD=PD=DB=PB=1，由余弦定理知AP=

12+12-2cos120°

=

3

．…（5分）
∴AP²=AB²+PB²，△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，…（6分）
又∵AP⊥PC，PB∩PC=P，PB、PC?平面PBC
∴AP⊥平面PBC．            …（8分）
∵AP?平面APC．
∴平面PAC⊥平面ABC．…（10分）
∵BC⊥AP，AP∩CP=P，AP、PC?平面PAC
∴BC⊥PC．…（12分）

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的性质，属于基本知识的考查．