Question

2．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{2}{3}，6}）$
• B． $[{\frac{2}{3}，6}]$
• C． $[\frac{1}{4}，\frac{5}{2}]$
• D． $（{\frac{1}{4}，\frac{5}{2}}）$

Answer 1

分析 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，根据$\frac{b+2}{a+1}$表示的几何意义是可行域中的点与（-1，-2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．

解答 解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数
∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1
∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0
又因为$\frac{b+2}{a+1}$ 表示的是可行域中的点与（-1，-2）的连线的斜率．
所以当（-1，-2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，
当（-1，-2）与B（2，0）相连时斜率最小为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围是（$\frac{2}{3}$，6）
故选：A．

点评 本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与定点连线的斜率．属于线性规划中的延伸题．