Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点A（

2

，

3

）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q．取点B（0，2

2

），连接BQ，过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点．试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）根据椭圆的焦距为4，得到c=2，点A（

2

，

3

）代入椭圆方程，两式联解即可得到a²=8且b²=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x₀，0），设D的坐标为（d，0），由BD⊥BQ，得dx₀+8=0，从而算出d=-

8

x0

，因为点点E是点D关于y轴的对称点，得点E的坐标，直线PE的斜率，结合点P是椭圆C上的点化简，从而得到直线PE的方程，与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，由此即得直线PE与椭圆C相切．

解答： 解：（Ⅰ）由题设，得

a2=b2+4 2 a2 + 3 b2 =1

，（2分）
解得

a=2 2 b=2

，故椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．（4分）
离心率e=

c

a

=

2

2

．（5分）
（Ⅱ）由题意知点Q点坐标为（x₀，0），
设D（d，0），则

BD

=（d，-2

2

），

BQ

=（x₀，-2

2

），
由BD⊥BQ，得

BD

•

BQ

=0，∴dx₀+8=0，∴d=-

8

x0

．（7分）
由点E是点D关于y轴的对称点，得点E（

8

x0

，0）．（8分）
直线PE的斜率为

x0y0

x02-8

因点P在椭圆C上，故x02+2y02=8．
于是直线PE的斜率为-

x0

2y0

，其方程为y=-

x0

2y0

（x-

8

x0

）．（10分）
代入椭圆方程，利用x02+2y02=8，化简得x2-2x0x+x02=0．（12分）
因△=0，故方程组有两组相同的实数解，所以直线PE与椭圆C相切．（13分）

点评：本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．