Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：对一切正整数n，有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由题意列方程组求得首项和公差，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由（1）中求得的通项公式得到

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，代入有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

整理得答案．

解答： （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d（d≠0），
由S₅=25，且S₁，S₂，S₄成等比数列，得

5a1+ 5×4 2 d=25 (2a1+d)2=a1•(4a1+ 4×3 2 d)

，解得：

a1=5 d=0

或

a1=1 d=2

．
∵d≠0，
∴

a1=1 d=2

，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）证明：∵a_n=2n-1，
∴

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

．

点评：本题是数列与不等式综合题，考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．