Question

已知函数f（x）=2cos（

x

2

-

π

4

），x∈R．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若sinθ=

3

5

，θ∈（

π

2

，π），求f（4θ+π）．

Answer 1

考点：余弦函数的图象,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）令2kπ≤

x

2

-

π

4

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．
（2）由sinθ=

3

5

，θ∈（

π

2

，π），求得cosθ、sin2θ、cos2θ的值，再根据f（4θ+π）=2cos[2θ+

π

2

-

π

4

]=2cos（2θ+

π

4

），利用两角和的余弦公式，计算求得结果．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=2cos（

x

2

-

π

4

），令2kπ≤

x

2

-

π

4

≤2kπ+π，k∈Z，求得4kπ+

π

2

≤x≤4kπ+

5π

2

，
故函数的减区间为[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]，k∈Z．
（2）∵sinθ=

3

5

，θ∈（

π

2

，π），∴cosθ=-

4

5

，∴sin2θ=2sinθcosθ=-

24

25

，cos2θ=1-2sin²θ=1-2×

9

25

=

7

25

．
∴f（4θ+π）=2cos[2θ+

π

2

-

π

4

]=2cos（2θ+

π

4

）=2cos2θcos

π

4

-2sin2θsin

π

4

=2×

7

25

×

2

2

-2×（-

24

25

）×

2

2

=

31 2

25

．

点评：本题主要考查余弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．