Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的离心率为，点A(2，1)是椭圆E上的点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分別与椭圆E交于B，C两点，己知△ABC的面积为，求直线BC的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）x＝或x－4y－2＝0

【解析】

（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合，解方程组求得的值，从而得到椭圆方程.（2）首先考虑直线斜率不存在的情况，此时面积不合题意.当直线斜率存在是，设出之心方程，联立直线方程和椭圆方程，用弦长公式求出，同理求得，再用三角形面积为列方程，求得直线的斜率，由此求得的坐标，进而求得直线的方程.

解：(1) 因为椭圆E的离心率为，所以＝，

又因为a2＝b2＋c2＝2c2，所以a2＝2b2＝2c2，

因为点A(2，1)是椭圆E上的点，所以＋＝1

解得b2＝3，a2＝6，

所以椭圆E的标准方程是＋＝1．

(2)当AB的斜率不存在或为0时，AB＝4或2，此时△ABC的面积为4，不合题意舍去；

当AB的斜率存在且不为0时，设AB的斜率为k，则直线AB方程为y－1＝k(x－2)，

由解得或

AB＝|－2|＝||，

同理将上式中的k用－替换，得AC＝||，

因为△ABC的面积为，所以AB AC＝||||＝，

化简得＝，

当k2≥1时，原方程可化为8k4－25k2－28=0，解得k2=4，

当k2≤1时，解得k2=，

即k=2或－2或或－，

当AB的斜率2时，AC的斜率－，此时B点坐标(，－)，C点坐标(，)，

此时直线BC的方程为x＝，

当AB的斜率－2时，AC的斜率，此时B点坐标(，)，C点坐标(－2，－1)，

此时直线BC的方程为x－4y－2＝0，

综上，直线BC的方程为x＝或x－4y－2＝0．