Question

已知sinα=

3

5

，  cos(β-α)=

12

13

，  α∈(0，

π

2

)，  β-α∈(

3π

2

，2π)，求cos2α和sinβ的值．

Answer 1

分析：直接利用二倍角公式求出cos2α，根据β-α的范围，利用同角三角函数的基本关系求得sin(β-α)=-

5

13

，由
sinβ=sin[（β-α）+α]利用两角和差的正弦求出结果．

解答：解：cos2α=1-2sin²α=1-2×(

3

5

)2=

7

25

．  由sinα=

3

5

，  α∈(0，

π

2

)，得cosα=

4

5

，
由cos(β-α)=

12

13

，  β-α∈(

3π

2

，2π)，得sin(β-α)=-

5

13

，
∴sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα=-

5

13

×

4

5

+×

12

13

×

3

5

=

16

65

．

点评：本题考查两角和差的正弦、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用，角的变换是解题的难点．