Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1=3，Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{bn}中，b1=9，bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），若不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令Tn= + + +…+ （n∈N*），证明：对于任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

当n≥2时，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

两式相减得an+1=3an

∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，当n≥2时， ．

当n=1时，a1=3也符合，∴ ．

（Ⅱ）将 ，代入bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），

得 ，

∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1

=4（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+9+9

=23n+3，（n∈N+）

∴不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，则f（n+1）= ，

∴当n≤4时，f（n）单调递增，当n≥5时，f（n）单调递减，

故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6＞a7…

∴ ，故

∴实数λ的取值范围为（ ，+∞）．

（Ⅲ）证明：当n=1时，T1=

当n≥2时，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

∴

∴

=

=

故对于任意的n∈N*，Tn＜

【解析】（Ⅰ）由Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

得当n≥2时，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

两式相减得an+1=3an，得数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即可．（Ⅱ）可得 ，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=23n+3，（n∈N+）

不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ对一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，利用单调性实数λ的取值范围．（Ⅲ）当n≥2时，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

即 =

【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．