题目内容
对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.
（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2
cos2t+,试求实数t的取值范围；
（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.
（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2
cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b≥-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.
（1）k
+
≤t≤k+
,k∈Z（2）面积为S=
(1-
a2)da=4
+≤t≤k+,k∈Z（2）面积为S=(1-a2)da=4 （1）由f(x)=bx3+ax2-3x,
则f′(x)=3bx2+2ax-3,
∵f（x）在x=1和x=3处取得极值，
∴x=1和x=3是f′(x)=0的两个根且b≠0.
.
∴f′(x)=-x2+4x-3.
∵f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过
2sintcost-2cos2t+,
∴f′(x)≤2sintcost-2cos2t+对x∈R恒成立，
而f′(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1.
故2sintcost-2cos2t+≥1
2sin(2t-
)≥12k
+
≤2t-≤2k+
,k∈Z
k+
≤t≤k+
,k∈Z.
（2）当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.
当b≠0时，由f(x)在R上单调
f′(x)≥0恒成立，或者f′(x)≤0恒成立.
∵f′(x)=3bx2+2ax-3,
∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-a2.
从而知满足条件的点P（a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-a2与直线b=-1所围成的封闭图形，
其面积为S=(1-a2)da=4.
则f′(x)=3bx2+2ax-3,
∵f（x）在x=1和x=3处取得极值，
∴x=1和x=3是f′(x)=0的两个根且b≠0.
.∴f′(x)=-x2+4x-3.
∵f(x)的图象上每一点的切线的斜率不超过
2sintcost-2
cos2t+,∴f′(x)≤2sintcost-2
cos2t+对x∈R恒成立，而f′(x)=-(x-2)2+1,其最大值为1.
故2sintcost-2
cos2t+≥12sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Zk+≤t≤k+,k∈Z.（2）当b=0时，由f(x)在R上单调，知a=0.
当b≠0时，由f(x)在R上单调
f′(x)≥0恒成立，或者f′(x)≤0恒成立.∵f′(x)=3bx2+2ax-3,
∴Δ=4a2+36b≤0可得b≤-
a2.从而知满足条件的点P（a,b)在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-
a2与直线b=-1所围成的封闭图形，其面积为S=
(1-a2)da=4.
练习册系列答案
相关题目
图像上一点
处的切线方程为
，其中
为常数.
是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用
表示）；
不是函数
对称.
．
的图象上有与
轴平行的切线，求
的范围；
，（Ⅰ）求函数
，
，不等式
恒成立．
的导数
为实数，
，
；
是函数
的极值点，求
上的最大值和最小值；
和
上都是递增的，求
;
);
.
, 
的值；
上是单调函数，求
的取值范围。
(b，c∈N*)，若方程f(x) = x的解为0，2，且f (–2)＜–
．（Ⅰ）试求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知各项不为零的数列{an}满足4Sn·f (
) = 1，其中Sn为{an}的前n项和．求证：
．
，若满足
，则必有（ ）
B 
D 