Question

如图，在四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，E、F分别是PB、AD的中点，PD=2．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求证：EF∥平面PDC；
（3）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD 和CD，可得BC⊥平面PCD，从而证得BC⊥PC．
（2）取PC的中点G，证明四边形EFGD是平行四边形，可得EF∥GD，证得EF∥平面PDC．
（3）取BD中点O，可证EO⊥底面ABCD，利用 VB-AEF=VE-ABF=

1

3

S△ABF •OE求出三棱锥B-AEF的体积．

解答：解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD是边长为2的正方形，∴BC⊥CD．
这样，BC垂直于平面PCD内的两条相交直线PD 和CD，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC．
（2）取PC的中点G，连接EG，GD，则EG

∥

.

1

2

BC，∴GE

∥

.

DF．∴四边形EFGD是平行四边形．
∴EF∥GD，又EF?平面PDC，DG?平面PDC，∴EF∥平面PDC．
（3）取BD中点O，连接EO，则EO∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴EO⊥底面ABCD，EO=1，
VB-AEF=VE-ABF=

1

3

S△ABF•OE=

1

3

•

1

4

•22•1=

1

3

．

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，求棱锥的体积，取PC的中点G和取BD中点O 是解题的关键．