Question

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）

• A．

  16

  3

• B．8
• C．

  32

  3

• D．8

  3

Answer 1

分析：连结BD，可得四边形ABCD的面积S=S_△ABD+S_△CBD，由圆内接四边形性质、诱导公式和三角形面积公式，化简得S=

1

2

（AB•AD+BC•CD）sinA=16sinA．再根据△ABD和△CBD有公共边BD，利用余弦定理列式解出cosA的值，从而解得A=120°，代入前面式子即可得出四边形ABCD的面积．

解答：解：连结BD，可得四边形ABCD的面积为
S=S_△ABD+S_△CBD=

1

2

AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC
∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．
S=

1

2

AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC
=

1

2

（AB•AD+BC•CD）sinA=

1

2

（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）
在△ABD中，由余弦定理可得
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
同理可得：在△CDB中，BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-

1

2

，
∵A∈（0°，180°），∴A=120°，
代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8

3

故选：D

点评：本题给出圆内接四边形的各边之长，求它的面积．考查了圆内接四边形的性质、正余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查了运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．